Да, клеща нужно положить в баночку и отдать врачам. Они проверят на инфекцию. Ну и сделают профилактическую прививку. Ну а если коещ окажется переносчиком, то предстоит курс лечения. Могут уколами, могут таблетками.
Клещ дышит и выбраться его может побудить недостаток кислорода. поэтому и поливают маслом. Но важно, чтобы он оставался живой и целый. Через минут 20-30 после обработки эта сволочь вылезает сама, гашёная, и уже условно-безопасная.
Если клещ только-только впился и ещё весь на поверхности, то можно решить проблему радикально - всковырнуть вместе с кожей/мясом. Ссадины - обычное дело. Эта ранка будет так же. Будет немного больно, несколько капель крови, но за то потом к врачу идти не надо.

Скручивать верёвкой - очень плохой метод. Имено из-за того, что верёвка прочнее, чем клещ. Ниткой просто фиксируют погружение скотины, чтобы более толстое брюшко не пролезло. И на всех парах едется в больницу. Сразу, безо всяких рассусоливаний. И вообще даже если только голова его осталась под кожей, это тоже плохо, особенно если до папиляров и капилляров достал. В конце концов неосторожным движением может и раздавить эту голову.
Ну и в любом случае операции такого рода надо проводить в устойчивом положении. В данном случае она должна была лежать на спине с согнутыми в коленях ногами, одна из которых лежала бы, а вторая стояла под прямым углом.